Математика. Материалы курса

Сегодня на занятии рассмотрим решение некоторых задач в координатах. Начнем с простой задачи. Допустим, что в некоторой системе координат заданы точки. Требуется найти координаты суммы двух векторов: АВ+CD. Чтобы решить данную задачу, надо вспомнить, что при сложении векторов их координаты складываются. При этом, для того чтобы найти координаты вектора АВ, если известны координаты его точек, надо из координат конца вектора вычесть координаты его начало. Итак, вектор АВ имеет следующие координаты. Будем обозначать вектор, записав над отрезком либо стрелочку, либо просто знак черты. Итак, координаты вектора АВ (-1-0, -2-2, 1-1)=АВ(-1, -4, 0). Аналогично находим вектор CD: CD(1-3, 0-(-4), 3-5)= CD(0, 4, -2). Теперь задача становится совсем простой, складываем почленно соответствующие координаты и получаем координаты суммы АВ+CD. Итак, (-3, 0, -2). Таким образом, задача решена, при этом сам вектор нам изображать не пришлось. Ответ (-3, 0, -2).

 Следующая задача. В этой задаче нам задана опять же прямоугольная система координат следующим образом. Рассматривается прямоугольный параллелепипед. Рассмотрим одну из его вершин, точку О, и вдоль ребер направим базисные векторы i, j и k так, как указано на рисунке. Получаем прямоугольную систему координат, в которой каждая точка вектор получают свои координаты. Выполненим некоторые построения, отметим точку К – середину ребра С₁D₁ и точку М – середину отрезка АК и найдём координаты требуемых векторов и координаты точки М. Итак, обратите внимание, что нам даны 4 вектора, эти вектор является радиус-векторами точек К, А, D и D₁. Давайте вначале рассмотрим вектор ОА. Его координаты находится очень просто, если заметить, что этот вектор сонаправлен с базисным вектором i, тем самым его может выразить как 5i. При этом, чтобы найти координаты, нам нужны коэффициенты при каждом базисном векторе. Запишем, что при векторе j мы имеем нулевой коэффициент, при векторе k – то же самое. Таким образом, вектор ОА имеет координаты (5, 0, 0), а значит и точка А будет иметь те же самые координаты. Напоминаю, что координаты точки совпадают с координатами его радиус-вектора. Так, теперь смотрим некоторые другие вершины, например, вершину D. Чтобы найти вектор OD, точнее, чтобы найти его координаты, снова разложим этот вектор по базисным. Учитывая, что он лежит в плоскости OADC, он будет выражаться через векторы i, k. Вектор j будет с нулевым коэффициентом. Итак, по правилу параллелограмма получаем, что вектор OD (могу его здесь изобразить), это сумма векторов ОА плюс ОС. ОА мы уже знаем 5i, ОС это 3k. Получается, 5i, перед j нулевой коэффициент и перед k – 3, 3k. Итак, значит, вектор OD, как и точка D имеет координаты (5, 0, 3). Так, теперь мы с вами еще вектор ОК не нашли. Давайте вернемся к вектору ОК. Для того, чтобы найти его координаты, на самом деле, можно вначале отыскать координаты точки К. Она является серединой отрезка С₁D₁. Если мы будем знать координат С₁D₁, то легко найдем координату точки К. Поэтому давайте найдём координаты С₁. Аналогично, вектор ОС₁ – это есть сумма ОВ+ОС, соответственно, ОС₁ представится как 4j + 3k. Значит, данный вектор имеет координаты (0, 4, 3). Значит точка С₁ имеет координаты (0, 4, 3). Итак, найдем координаты точки D₁ и параллельно координаты вектора ОD₁. Здесь можно поступить следующим образом. Можно вспомнить, что координаты точки D₁ совпадают с проекциями вектора ОD₁ на оси координат. И так как нам дан прямоугольный параллелепипед, мы можем утверждать, что точки А, В и С как раз-таки и является проекциями вектора ОD₁ на наши оси. Соответственно, координаты (5, 4, 3), потому что длина вектора ОА равняется 5, ОВ=4, ОС=3, при этом эти векторы сонаправлены с базисными. Значит, точка D₁ имеет координаты (5, 4, 3). Для того, чтобы отыскать координаты точки D₁, а, значит, и координаты вектора ОD₁, можно выразить вектор ОD₁ через базисные i, j, k. Итак, известны координаты точек, давайте запишем, что у нас вектор ОD₁ имеет координаты (5, 4, 3). Теперь легко найти координаты точки К. По формуле середины отрезка складываем соответствующие координаты и делим на 2, 0 плюс 5 получаем два с половиной, поделив пополам число 5, 4 плюс 4 пополам = 4, 3 плюс 3 пополам 3. Соответственно, эти же координаты имеет вектор ОК, радиус-вектор точки К. Так как М – середина отрезка АК, значит, чтобы найти ее координаты можно применить то же самое правило. Итак, вычислим абсциссу точки М, это полусумма чисел 5 и 2,5, она равна 3,75. Далее ордината точки М равна 2 и аппликата z этой же самой точки равна числу 1,5. Тем самым координаты точки найдены. Можем записать М(3,5, 2, 1,15). Итак, задача решена, все требуемые координаты векторов и точке у нас найдены.

Решим следующую задачу. Опять же в некоторой системе координат заданы векторы. Требоваться вывести, является ли компланарными. Векторы заданы в пространстве, потому что определяется тройкой чисел. Напомню, что компланарность векторов означает, что они параллельны одной плоскости. Вспомним, что три вектора а, b и с компланарны тогда и только тогда, когда они линейно зависимы. А это, в свою очередь, равносильно тому, что матрица, составленная из их координат, является вырожденной. Матрицу можно образовать, расположив координаты в столбцы либо в строки. Для того чтобы проверить будет ли матрица вырожденной, достаточно посчитать ее определитель. Давайте это сделаем. Расположим координаты векторов в строки. Вычислим определитель. Тем самым дадим ответ. Вспомним в параллельно, каким образом можно вычислять определители. Один из вариантов вычисления основывается на элементарных преобразованиях. Давайте из 2 строки вычтем 3 первых, а из 3 вычтем 1. Напоминаю, что подобное преобразование не изменяет знак определителя, поэтому определитель не изменится. Первая строка остается 1 8 3, вторая 0 -22 -14, и, наконец, преобразуем третью строку 0 -11 -7. Возможно, уже кто-то заметил, что две последние строки пропорциональны. Если даже это изначально не заметить, можно дальше продолжить приводить матрицу к ступенчатому виду и, например, поделить вторую строку на 2 или из второй вычесть две первых. После этого преобразования, если из второй строки вычесть две третьих, мы получим нулевую строку. Это и означает, что две последние строки пропорциональны. Итак, 0 0 0. Раз в определителе появилась нулевая строка, значит, он равен нулю. Повторяю, если кто-то заметил сразу, что строки пропорциональны, на этом можно остановиться, указав, что данные строки пропорциональны, значит, матрица вырожденная, следовательно, векторы линейно зависимы, то есть компланарными. Ответ векторы компланарны.

Следующая задача. Рассмотрим треугольник ОАВ и отметим на стороне АВ точку М. И допустим, что нам известно, чему равно отношение длин отрезков АМ к МВ, пусть это будет некоторое число λ. Выразим вектор ОМ через векторы ОА и ОВ. Виктор ОА обозначим буквой а, вектор ОВ – буквой b. Итак, предлагаю сделать следующий шаг. Предлагаю рассмотреть вектор ОМ, как сумму векторов ОА и АМ по известного правилу сложения (правилу треугольников), используемому для сложения векторов. Вектор ОМ есть сумма ОА+АМ. Так, вектор ОА у нас задан, кстати, на векторы а и b мы можем смотреть как на базисные, и перед нами стоит такая задача – нам необходимо найти координаты вектора ОМ в базисе а, b. Итак, вектор ОА нам дан, это вектор а. Надо разобраться с вектором АМ. Вспомним, что нам известно отношение отрезков АМ к МВ. Можно записать следующее соотношение: длина отрезка АМ равна λМВ. Эти векторы АМ и МВ сонаправлены, а, значит, вектор АМ можно представить, как число λМВ. Сейчас мы заменим слагаемое АМ через указанное выражение, а МВ представим, как разность ОВ и ОМ. Итак, МВ, давайте запишем, это разность векторов ОВ и ОМ. Если кто-то забыл, это правило вычитания векторов, напоминаю, что его можно вывести из формулы сложения. Вектор ОВ будет равен ОМ плюс МВ. Переносим ОМ в другую часть и получаем требуемое равенство. Итак, вектор МВ вот такой. Давайте сделаем подстановку вот сюда. Получим, а + λ(b-ОМ). Вспомним, от чего мы шли? Мы шли от вектора ОМ, тем самым, имея вот такое равенство, давайте раскроем скобки и перепишем равенство другом виде. ОМ = a +λb. Итак, сейчас наша задача, из данного равенства выразить вектор ОМ. Для этого я вначале раскрою скобки в правой части, а+λb–λОМ. Перенесем выражение, содержащее вектор ОМ, в правую часть и вынесем его за скобку. Теперь, чтобы выразить вектор ОМ, перенесем из правой части выражение, содержащие этот вектор, в левую часть, и вынесем его за скобку. Получаем (1+λ)ОМ, в правой части остается два слагаемых: а+λb. Из данного равенства легко выразить вектор ОМ. Итак, выражая вектора ОМ, получаем следующую формулу: (а+λb)/(1+λ). Этой формулой можно пользоваться, она имеет достаточно красивый вид. Итак, вектор ОМ выражается вот таким равенством (см. видео). Это равенство можно записать немножко по-другому, выделив четко коэффициенты перед векторами а и b. Давайте запишем. Итак, коэффициент перед а – 1/(1+λ), коэффициент при векторе b равен λ/(1+λ). Тем самым, можно утверждать, что в базисе a, b вектор ОМ имеет координаты (см. видео). Обратите внимание, в частности, если точка М будет является серединой отрезка АВ, параметр λ будет равен 1, потому что АМ и МВ будут равны, а значит, из этой формулы можно получить частный случай, уже известную нам формулу середины отрезка. Вектор ОМ, где М – середина, равен 1/2 а + 1/2 b. Задача решена.