Математика. Материалы курса

На данном занятии отработаем понятие линейной зависимости векторов и понятие базиса системы векторов.

Начнем с такой несложной задачи. На слайде даны две системы векторов. Постараемся выяснить, являются ли они линейно зависимыми.

Итак, вначале нам дана система, в которой два вектора a=(1, 1) и b=(2, 1). Если бы они были линейно зависимыми, то один вектор выражался бы через другой, а это означало бы, что их строки были бы пропорциональны. Здесь мы пропорциональности не видим, значит, данные векторы линейно независимы. 1- линейно независимы.

Рассмотрим следующую систему, в которой уже даны три вектора. Давайте их запишем: a=(1, 1, 2), b=(0, 1, 0), c=(1, 2, 2). Здесь непропорциональность координат уже ни о чем не говорит. Можно действовать по определению: составить линейную комбинацию и дальше проанализировать, когда она равняется нулевому вектору. Однако давайте посмотрим и увидим, что третий вектор c=(1, 2, 2) можно представить как сумму первых двух. Действительно, сложив покоординатно строки, мы получим, что вектор c – это сумма векторов а и b. Коль скоро нашелся вектор, который выражается через другие векторы данной системы, делаем вывод, что исходная система векторов линейно зависима. Итак, данные три вектора a, b и c являются линейно зависимыми.

Теперь вспомним, что такое базис. Возьмем те же самые три вектора. Зная, что они линейно зависимы, постараемся найти базис. Базис - это такая часть системы, которая, во-первых, сама по себе линейно независима, но через эти векторы можно выразить любой вектор данной системы.

Мы знаем, что вектор c через векторы а и b выражается, а значит, возникает такое предположение: может быть векторы а и b и будут образовывать базис. Давайте поставим такой вопрос? На самом деле ответ положительный, так как координаты векторов а и b непропорциональны, значит, эти векторы линейно независимы, и, как я уже сказал, вектор c через а и b выражается. Отмечу такой очевидный факт, что когда мы говорим фразу: «каждый вектор выражаются через базисные» - мы, конечно же, понимаем, что сами по себе векторы а и b тоже можно через а и b выразить. Что такое вектор а? Это 1*a+0*b, тоже самое вектор b, это 0*a+1*b. Итак, в силу определения получаем, что векторы а и b образуют базис. Вопросов нет.

Теперь задачу усложним: к уже рассмотренным 3 векторам добавим еще 2: d и e. Найдем базис у полученной системы векторов. Итак, если действовать по определению, то нам надо найти линейно независимую подсистему, через которую можно выразить все векторы данной системы. Запишем то, что мы уже имеем: вектор c выражается через а и b: c= а+b. Конечно, первое предположение, что может быть через а и b и остальные векторы можно будет выразить. Однако это предположение неверно, потому что, если к векторам а и b (я выпишу их друг под другом (см. видео)) добавить вектор e с координатами (0, 0, 2), то матрица, образованная этими векторами (см. видео), является ступенчатой. А мы знаем, что строки ступенчатой матрицы линейно независимы, значит тройкой векторов (a, b, e) линейно независимы. Поэтому вектор e через a и b нам выразить не удастся. Другое предположение: может быть теперь a, b и e образуют базис. Итак, c через а и б мы выразили, значит, мы выразим, еще раз напомню, что вектор c мы можем выразить также через е, записав перед ним на нулевой коэффициент: c=a+b+0*e. Теперь нам осталось посмотреть на вектор d. Если мы его сумеем выразить через векторы a, b и e, значит, тем самым было доказано, что наша тройка векторов образует базис. Вектор d имеет координаты (2, 2, 4). Посмотрев на все векторы, можно увидеть, что вектор d пропорционален вектору а, так как, умножив все координаты вектора а на 2, мы получим тройку 2, 2, 4. Итак, вектор d выражается через а, а значит, через все три вектора а, b и е. Просто векторы b и е берутся с нулевыми коэффициентами. Учитывая этот факт, и то, что векторы а, b, е линейно независимы, получаем ответ: тройка векторов a b и e - это базис данной системы векторов. При этом обращаем внимание: раз в данном базисе 3 вектора, значит любой базис имеет 3 вектора. Но это не означает, что любая тройка векторов образует базис. Например: векторы a, b и c базис образовывать не будут.

Следующая задача. Дана система векторов a=(3, 2, 0), b=(2, 1, -1), c=(1, 2, 4) и d=(7, 5, 1). Требуется найти ранг и базис этой системы. После того, как мы найдем базис, выразим оставшиеся векторы через базисные. Для того, чтобы решить задачу будем использовать следующий алгоритм: запишем наши векторы в матрицу и приведем ее к ступенчатому виду (см. видео). При этом предлагаю поставить третью строку на первое место, то есть поменять местами первую третью строчки. Для того, чтобы было проще выполнять элементарные преобразования. При этом, раз мы поменяли местами строки, то я подпишу рядом с каждой строкой соответствующий вектор (см. видео). Вычтем из второй строки две первых, из третей - три первых и из четвертой - семь первых (см. видео). Получим следующую эквивалентную матрицу: первая строка: 1 2 4, вторая строка: 0 -3 -9, третья строка: 0 -4 -12, четвертая строка: 0 -9 -27. Обратите внимание, что все три строки можно сократить на какие-то числа, то есть вторая строка пропорциональна числу 3, причем, чтобы не было минусов, разделим на -3. Третья строка пропорциональна 4. Разделим на -4. И, наконец, четвертую строку разделим на -9. Получим: первая строка: 1 2 4, вторая строка: 0 1 3, третья строка: 0 1 3, четвертая строка: 0 1 3.

Итак, две последние строки равны второй строке. Другими словами, после вычитания второй строки из двух последних мы получим нулевые строки. Мы получили нулевые строки, которые можно будет вычеркнуть. Давайте я их запишу и вычеркну. (См. видео). (1 2 4, 0 1 3).

Итак, что мы имеем? Мы имеем, что наша исходная матрица преобразовалась к ступенчатому виду. В ступенчатой матрице две строки, значит, ее ранг равен 2, то есть в исходной системе базис состоит из двух векторов. Два вектора, значит, надо найти какие-то два вектора, которые будут линейно независимыми. Раз у нас их два, значит, мы можем взять любые векторы с непропорциональными координатами. Видим, что здесь векторов с пропорциональными координатами нет, значит, базис образуют любые два вектора. Предлагаю взять первые векторы, которые у нас записаны в матрице b=(2, 1, -1) c=(1, 2, 4). Они будут образовывать базис. Итак, (b, c)-базис.

И теперь наша задача заключается в том, чтобы выразить через векторы b и c векторы a и d. Предлагаю сделать это двумя способами.

Первый способ основан на определении. Вот у нас есть вектор d и векторы b и c. Что означает фраза «выразить вектор d через b и c»? Значит, представить вектор d в виде линейной комбинации векторов b и c. То есть d=k1*b+k2*c. Коэффициенты k1 и k2 нам неизвестны. Чтобы их найти, давайте запишем координаты векторов d, b и c. Итак, вектор d=(7, 5, 1). В правой части умножим вектор b на k1, получим: (2*k1, k1, -k1), k2 умножим на вектор c, получим: (k2, 2*k2, 4*k2). (7, 5, 1)= (2*k1, k1, -k1)+ (k2, 2*k2, 4*k2). Далее сложим правую часть, то есть две n-ки, стоящие в правой части, и получим следующую тройку (2*k1+k2, k1+2*k2, -k1+4*k2) (см. видео). Вот такие три числа. Раз левая и правая части равны, дальше мы знаем, чему равны соответствующие координаты и можем получить следующие три равенства. Итак, запишем полученную систему уравнений: первая координата: 2*k1+k2=7, вторая координата: k1+2*k2=5 и, наконец, третья координата: -k1+4*k2=1. (См. видео). Итак, требуемые коэффициенты можно найти из данной системы уравнений.

Давайте решим данную систему. Я не буду здесь приходить к матрице, а сложу последние два уравнения, точнее, к третьему прибавлю второе. Первое перепишу 2*k1+k2=7, второе тоже k1+2*k2=5, к третьему прибавляем второе (-k1+k1)+(4*k2+2*k2)=1+5, получим: 6*k2=6. (См. видео). Если (пока) не обращать внимание на первое уравнение, мы имеем ступенчатую систему без первого уравнения. k2=1, подставляем в предыдущее: k1+2=5, значит, k1=3. Ну и теперь надо проверить, что первое уравнение у нас тоже удовлетворяется, чтобы система была совместной. Давайте проверим, подставив найденные коэффициенты, 2*3+1=7. Всё сходится. Система решена k1=3, k2=1. Вспоминаю, мы ищем вектор d в виде вот такой комбинации: d=k1*b+k2*c. Значит, вектор d имеет вид: d=3*b+1*c=3*b+c.

Итак, вектор d мы разложили по базису. Напомню, что коэффициенты разложения называется координатами вектора. В данном базисе вектор d имеет координаты (3, 1) в базисе (b, c).

Теперь у нас остался вектор а. Его также можно разложить по базису на основе определения. Однако я хочу вам показать другой способ, как это сделать, используя уже проведенные вычисления. Так, зафиксируем наш ответ, а промежуточные вычисления уберем. Давайте порассуждаем. Мы хотим выразить вектор а через вектор b и c. Когда мы преобразовывали наши матрицы, мы действовали со строками, то есть действовали с векторами. И к чему в конце концов мы пришли? Вот вектор а=(3, 2, 0), который располагался в третьей строке. После нескольких преобразований мы получили нулевую строку, значит, мы сейчас можем проделать все эти преобразования с векторами и, в конце концов, получить нулевой вектор, то есть получить линейную комбинацию векторов а, b и c, из которой мы легко сможем выразить вектор a. Итак, запишем рядом с соответствующей строкой выполняемые преобразования из второй строки. Вычитаю две первых, значит b-2*c (см. видео). Далее из третьей строки вычитаю три первых: a-3*c, так как вектор d уже найден, я четвертую строку преобразовывать не буду. Далее. Вторую строчку мы разделили на -3, то есть (b-2*c)/-3, сразу преобразую (b-2*c)/-3=-1/3*b+2/3*c, это вот у нас вторая строчка. И, наконец, третья строчка получаем: (a-3*c)/-4=-1/4*a+3/4*c. Далее из третьей строки вычитаем вторую (см. видео). Запишем здесь указанное преобразование, соответствующее третьей строке, и из третьей вычитаем вторую. Вот у нас вторая строка, которая была на предыдущем шаге. После этого преобразования мы получили нулевую строку, то есть нулевой вектор : -1/4*a+3/4*c-(-1/3*b+2/3*c)=0 (см. видео). Давайте преобразуем левую часть, учитывая свойства операций. Итак, -1/4*a+3/4*c+1/3*b-2/3*c=0. Домножим, например, на 12, чтобы не было дробных чисел: -3a+9c+4b-8c=0, приводим подобное, получаем c-3a+4b=0. У нас базис (b, c). Нам нужно выразить вектор а: 3a=4b+c, a=4/3*b+1/3*c. Вектор а по базису разложен.