Математика. Материалы курса

Наша лекция посвящена понятию экстремума функции двух переменных. Это понятие служит обобщением того, что мы изучали для функции одной переменной. Давайте перейдем к основным понятиям.

Итак, функция двух переменных z=f(x, y) определена в некоторой окрестности точки М₀. Когда мы говорим, что точка М₀ – это точка максимума, если существует такая окрестность этой точки, что какую бы точку М, отличную от точки М₀, мы не взяли из нее, выполняется неравенство. Как это выглядит? (см. видео) Мы видим, над М₀ находится такая вершина некоторой горки. Итак, М₀ для этой иллюстрации является точкой максимума.

Совершенно аналогично определяется точка минимума, неравенство меняет знак, значение функции в точке М строго больше, чем в точке М₀, если М отлична от М₀. И выглядит это примерно так (см. видео). мы используем термин «точка экстремума», объединяя при этом точки максимума и минимума в этом термине.

Значения в точках экстремума называются экстремумами.

Необходимое условие экстремума. Оно звучит похоже, как мы формулировали аналогичную теорему для функции одной переменной. Итак, пусть М₀ – это точка экстремума функции двух переменных, и в этой точке существуют конечные частные производные. Тогда, теорема утверждает, что значения этих частных производных равны 0.

Давайте попробуем доказать. Для этого вспомним, что частные производные функции в точке есть ничто иное, как значение производной функции одной переменной ϕ(х), которая определена как f(x), и вместо у мы подставляем у₀, ординату точки М₀. На графике, посмотрите, что такое график функции одной переменной ϕ(х). Это пересечение графика функции f(х,у) плоскостью у=у₀, это кривая в плоскости. Если М₀ – точка экстремума функции f, то х₀ оказывается точкой экстремума функции ϕ, функции одной переменной. И мы можем воспользоваться теоремой Ферма, на основании которой мы заключаем, что производная функции ϕ в точке х₀ равна 0. А это и означает, что частная производная функции f по переменной х в точке М₀ равна 0. Пункт 2 – доказательство того, что частная производная функции f по переменной у в точке М₀ равна 0, я вам предлагаю сделать самостоятельно.

Мы пришли к условию равенства 0 частных производных в точке М₀. Когда оба эти условия, оба эти равенства выполнены в точке М₀, то М₀ называется стационарной точкой функции f.

Итак, теорема о необходимом условии экстремума гласит, что если М₀ – точка экстремума, и частные производные есть, то М₀ – стационарная точка. Что это значит? Что точки экстремума функции двух переменных будем искать только среди стационарных точек. Итак, стационарная точка есть. А как определить, есть там экстремум или нет? Практика показывает, что бывает всякое. Так, каков геометрический смысл быть стационарной точкой? Это означает, давайте-ка вспомним уравнение касательной плоскости, что коэффициенты при х и у равны 0. И мы приходим к тому, что z=z₀, и уравнение касательной плоскости имеет вид z=z₀. Таким образом, в стационарных точках соответствующая точка графика функции двух переменных обладает свойством: касательная в ней параллельна плоскости ХОУ.

Как определить, стационарная точка является точкой экстремума или нет? Об этом говорит теорема о достаточном условии экстремума. Итак, пусть М₀ – стационарная точка функции двух переменных. Помним, это означает, что частные производные по х и по у равны 0. Кроме того, известно, что существуют частные производные второго порядка в этой точке, значения их обозначим А, В и С, числа. Кроме того, образуем новое число Δ=АС-В^2, оно и позволяет узнать, оказывается, есть там экстремум или нет. И еще возникает одна ситуация. Если Δ>0, то М₀ – это точка экстремума. После этого мы глядим на знак числа А. Если А>0, то минимум, если А<0, то максимум. Если Δ<0, то мы заключаем, в М₀ экстремума нет. А вот если Δ=0, то вопрос остается открытым, теорема ничего не говорит, есть там экстремум или нет, нужны дополнительные исследования, которые обходят стороной эту теорему.

Давайте рассмотрим на примере (см. видео). Итак, исследовать на экстремум функцию двух переменных. Какова схема решения задач?

Во-первых, находим стационарные точки, решая систему уравнений. Понятно, что нужно найти частные производные, ни здесь находятся довольно легко. Решая систему, я думаю, вы сделаете это самостоятельно, это не сложно, получаем решение х=2, у=0. Это и есть координаты стационарной точки.

Итак, стационарная точка есть, можно применять теорему достаточные условия экстремума. Нам нужно найти частные производные второго порядка, зная первого порядка, легко находим. Что получилось? Что частные производные второго порядка – это константы. В любой точке они равны числам 2, -1 и 2, в частности и в стационарной точке, поэтому, не уточняя, в какой точке это числа А, В, С, мы придаем значения А, В и С. Вычисляем Δ, и получаем Δ>0. Если больше 0, это экстремум. Следующим шагом глядим на знак числа А, если больше 0, то минимум. Пишем ответ. Точка М с координатами (2, 0), которую мы нашли как стационарную точку, является точкой минимума, и значение минимума, минимум равен -4.

Ну и еще один несложный пример. Исследовать на экстремум функцию z=xy. Опять стационарные точки находим. Система очень простая, сразу нам дает одну стационарную точку (0, 0). Частные производные второго порядка опять константы – числа А, В и С. Все предельно просто, Δ<0. И вывод появляется моментально, экстремума нет.