Математика. Материалы курса

Интересные понятия: производная по направлению и градиент. Вы наверняка слышали в речах наших политиков такие фразы «требуется указать градиент развития». О чем идет речь? Что нужно указать? Давайте разберемся. И вы тоже сможете блеснуть дальше знанием такого слова.

Итак, функция двух переменных z = f (x, y) пусть определена в некоторой окрестности точки М₀. Направление, мы же собираемся разбирать понятие производной по направлению, мы зададим лучом l, выходящим из точки М₀. Пусть М – это произвольная точка этого луча, будем обозначать текущую точку координатами x и y. Так вот, что же называется производной по направлению l функции f в точке М₀?

Итак, это предел отношения разности значений функции функция f точках М и М₀, М лежит на луче l, к расстоянию М₀М при стремлении точке М к точке М_0. Итак, опять получается, мы находим предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Приращение функции возникает при переходе от точки М к точке М₀. Наша задача сейчас, понять, как вычислить это значение. Понятно, что при вычислении такого предела у нас возникнут проблемы. Нельзя ли найти формулу для вычисления производной по направлению.

Что же мы сделаем? Это самое направление l можно задать единичным вектором. Давайте его построим. Начало – в точке О, его длина равна единице, он сонаправлен l. Обозначим углы, которые образует этот вектор с координатными осями Оx и Оy – a и b. Тогда, посмотрите, из возникающих прямоугольных треугольников нетрудно обнаружить, что длина вектора равна 1, первая координата x этого вектора равна cos a, а вторая координата равна cos b. Часто cos a и cos b называют косинус альфа и косинус бета – координаты единичного вектора – направляющими косинусами.

Итак, у нас есть формула, которая определяет, что такое производная по направлению в точке. Мы попытаемся вывести формулу. Итак, М₀ имеет координаты x0 и у0. Текущая точка М принадлежит лучу l и имеет координаты x и y. Вектор М₀М сонаправлен единичному вектору е, значит, является произведением вектора е на некоторое положительное число t. Так координаты вектора М₀М – это (х-х₀, у-у₀), а координаты вектора е (cos a, cos b). Значит, мы можем написать систему равенств. Отсюда выражая х и у, мы получаем координаты точки М(x, y). Хорошо. Итак, давайте посмотрим, что же мы видим в пределе. Числитель мы практически можем найти. Значение в точке М мы напишем, значение в точке М₀ напишем.  Чему равен знаменатель – длина М₀М? Итак, формула расстояние между точками пишем, а разность координат x и x0 это t* cos a, t*cos b. Но сумма квадратов косинусов это длина единичный вектора, то есть 1. Итак, подставляем в формулу числитель, знаменатель.

На этом месте, конечно, стоит немножко подумать. Потому что это оказывается, согласно определению производной, значение производной функции одной переменной в точке 0. Причем, что это за функция? Посмотрите, f – это функция двух переменных, каждая из которых оказывается функцией переменной t. Итак, мы пришли опять к производной функции одной действительной переменной.

Давайте посмотрим, как вычислить эту производную. Мы пришли опять к сложной функции. Так, давайте разбираться. Итак, это сложная функция, и диаграмма для нее выглядит следующим образом (см. на экран). Давайте запишем переходы.

Обратите внимание, z зависит от двух переменных х и у, поэтому мы пишем круглые буквы d – это частные производные по z, z по x и z по dy. А вот переход к переменной t, мы пишем прямые буквы d, которые мы используем для обозначения производной функции одной переменной: dx по dt, dy по dt. Тогда значение производной функции одной переменной t вычисляется по формуле (см. на экран). Давайте посмотрим, ну что такое производная функции х по переменной t? Ведь x это х₀ + t cos a, и производная по t – это cos a, и соответственно производная у по t – cos b . Что же мы видим? Формулу мы получили. Производная по направлению l в точке М₀ вычисляется по формуле (см. на экран). Итак, что нам нужно знать для применения этой формулы? Значение частных производных функций z по x и y в точке М₀ и координаты единичного вектора, указывающего направление дифференцирования – (cos a, cos b). Итак, мы здесь встретились с таким понятием, как вектор. Посмотрите два числа –  частные производные по x в точке М₀ и частные производные по у в точке М₀. Это два действительные числа. Мы можем считать, что они являются координатами некоторого вектора. Этот вектор как раз и называется градиентом функции f в точке М₀(x₀, y₀). Итак, градиент – это вектор. Давайте вернемся к вычислению производной по направлению. (cos a, cos b) – это координаты единичного вектора е. Тогда, если мы вспомним формулу скалярного произведения, где используются координаты векторов, то мы видим, что производная по направлению в точке М₀ – это скалярное произведение двух векторов: градиента и единичного вектора. Итак, это скалярное произведение векторов.

Но скалярное произведение векторов, вообще говоря, вычисляется еще и иначе. Нам нужно выяснить. Давайте разбираться. Если два вектора а и b меняются. Каким образом? Длины у них  одинаковые, а вот угол между ними может быть разным. В каком случае это скалярное произведение принимает наибольшее значение? Когда косинус φ равен единице. Если мы говорим, что длина одинакова, а меняем только направление вектора. Значит φ=0.

Итак, скалярное произведение двух векторов, имеющих постоянную длину, принимает наибольшее значение, когда угол между ними равен нулю, то есть они сонаправлены.

Это означает, смотрите, градиент это тоже то значение производной в точке, длина вектора всегда одинакова, это вообще постоянный вектор. А вот у вектора е мы знаем, его длина 1. Посмотрите, когда это скалярное произведение принимает наибольшее значение? Видимо, когда направление дифференцирования (вектор е) сонаправлен градиенту, то есть направление дифференцирования должно совпадать с направлением градиента.

Таким образом, градиент это вектор, который показывает направление наибольшего роста функции. Итак, когда мы говорим: указать градиент, это означает указать направление, где происходит наибольший рост данной функции.