Математика. Материалы курса

Мы рассмотрели понятие функции двух переменных, а сегодня у нас довольно сложный и интересный переход к новым понятиям, связанным с дифференцированием.

Что интересно, понятия производной функции двух переменных нет. Речь пойдет о частных производных. Вначале поговорим немного о непрерывности и пределах.

Мы часто произносим слово окрестность точки плоскости. Что мы под этим понимаем? Итак, координата M₀(x₀, y₀) - это точка плоскости, r - число большее 0. Что же называется окрестностью точки M₀ радиуса r? Это множество всех точек плоскости которое находится на расстоянии от точки M₀ меньше чем r, это внутренность круга центром в точке M₀ радиуса r. Зная формулы, мы легко пишем такое неравенство (смотри видео). Этому неравенству удовлетворяют все точки (x, y), лежащие внутри круга. Стоит вспомнить определение предела функции одной переменной, потому что определение предела для функции двух переменных звучит практически точно так же.

Итак, число A называется пределом функции f(x, y) в точке (x₀, y₀), если, какова бы ни была окрестность точки A радиуса ε - это интервал точки A, существует такая δ окрестность точки (x₀, y₀), это уже в плоскости XOY, что какова бы ни была точка (x, y) из области определения функции f, если она находится в проколотой δ окрестности точки (x₀, y₀), то есть отлично от точки M₀, проколотое слово означает, что значение функции принадлежит ε окрестности точки A.

Многие понятия, многие теоремы сохраняют свою истинность и для функции двух переменных. Мы не будем на этом останавливаться, только скажем о непрерывности тоже то определение, которое в общем-то согласуется с определением непрерывности функции одной переменной. Давайте скажем, не оговаривая ничего более строго: пусть функция двух переменных определена в некоторой окрестности точки M₀, и в самой точке тоже.

Функция называется непрерывной в точке, если предел функции в этой точке равен значению в ней.

А сейчас будем постепенно переходить к дифференциальному исчислению.

Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки M₀, поскольку переменных две, x и y, каждый из них может меняться на некоторую величину будем придавать приращение Δx и Δy переменным x и y. Посмотрите, может случиться так, что одна переменная изменилась, а другая нет. Итак, когда изменилась только точка x переменной, мы получили M₁, когда только переменная y - получили точку M₂, и когда изменились обе, мы получили точку M. Как это выглядит на картинке? Посмотрите, точка M₀, при изменении первой переменной на величину Δx получили точку M₁, если мы изменили только вторую переменную на Δy - получаем точку M₂, и, когда изменили обе переменные, мы получаем точку M. В каждой из этих точек функция определена и принимает некоторое значение, соответствующее z, и значит, при переходе от точки M₀ к любой из этих точек происходит изменение значений функций. Приращений получается несколько: при переходе к точке M₁ мы получаем приращение по переменной x в точке M₀, и мы добавляем такое прилагательное: частное приращение; если мы изменяли только переменную y, перешли к точке M₂, мы получили частное приращения по переменной y; если мы изменили обе переменные, то приращение получается полным.

Ну а сейчас определение частной производной. Частной производной функции f по переменной x в точке (x₀, y₀) называется предел отношения частного приращения по переменной x функции f в точке (x₀, y₀) к приращению Δx, при стремлении Δx к 0. Если мы раскроем частное приращение по переменной x, то получаем такую формулу (смотрите на видео).

Для частной производной по переменной x мы можем встретить в книгах по математике и другие обозначения, стоит с ними познакомиться. Обратите внимание, что мы для обозначения частной производной применяем круглую букву d, другую - не как для функции одной переменной. Именно написание этой буквы d таким образом говорит нам, что мы находим частные производные. Кроме того, по виду это дробь, но это не является дробью. Это символическая запись, которая обозначает частную производную по переменной x функций f. Ну и читается это в первом случае: dz по dx в точке (x₀, y₀); z штрих по x в точке (x₀, y₀); df по dx в точке (x₀, y₀).

Аналогичным образом определяется частная производные и по переменной y. Только в числителе мы рассматриваем частное приращение по переменной y, делим на Δy, при Δy стремится к 0.

Как вычислить частные производные? Понятно, что это главная задача, которую нам предстоит освоить. Давайте вернемся к дифференциальному исчислению функций одной переменной. Итак, точка у нас (x₀, y₀). Так вот, мы зафиксируем y0, а x оставим переменной. Мы получим функцию φ(x) одной переменной. Попробуем вычислить ее значение в точке x₀.

По определению, это предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к 0. Так, раскрываем приращение по формуле, вспоминаем, как вычисляется функция φ - это f (x, y₀).И что мы видим: в числителе оказалось частное приращение функции f в точке x₀. Так это же частная производная по переменной x функции f в точке (x_0, y₀).

Итак, частная производная по переменной x - это на самом деле производная функции одной переменной x. Ну и аналогично, частные производные по переменной y. Посмотрите (смотри на видео), частные производные функции двух переменных - это в точности производные функций одной переменной. В первом случае это функции переменной x, во втором случае это функции переменной y.

Каков геометрический смысл? Можно отталкиваться от геометрического смысла производной функции одной переменной. Посмотрите, как обстоит дело: в точке M₀ значения координат (x₀, y₀), точка графика находится на поверхности. Проведем секущие плоскости через точку (x₀, y₀) параллельно координатным осям x и y. Так вот, касательные к кривым в этих плоскостях пересекают оси координатной Ox Oy под углами α и β. На этом рисунке (смотри на видео) частной производной по переменной x это tg α - это тангенс между касательной и осью Ox, и f’ по y это tg β, угол между касательной и осью Oy.

Давайте попробуем вычислять (смотрите на видео). Допустим, нам нужно вычислить частную производную в точке (1, 2). Можно использовать разные подходы, помним, что на самом-то деле это производная. Если мы будем находить по переменной x, по переменной y вы найдете самостоятельно, то мы образуем функцию переменной x, y скажем это y₀, то есть 2. Смотрите, φ(x) в этом случае на самом деле это функция одной переменной, y – константа и равна 2, раз в точке (1, 2).  Дальше все просто: φ’ нашли, подставили значение x=1 и получили 82.

В реальности мы конечно так решать задачи не будем.

Второй способ: сразу мы начинаем рассуждать, когда мы находим производную по переменной x, мы считаем, что y – константа, не вдаваясь в подробности, какое именно это число, 2 или еще какое-то. y – константа, число, и при дифференцировании по x, переменные оказывается только x. Итак, это функция переменной x. Тогда, применяя правило дифференцирования, в первом слагаемом 7*y^2 является константой, мы выносим за знак производной, у второго слагаемого производная -2, а 3*y-1 это вообще константы и производная равна 0. Получили функцию переменных x и y. Ну и для того, чтобы вычислить значение производной в точке 12 подставили вместо x 1, вместо y 2. Очевидно, значение будет тем же самым, что мы получили.

Частные производные высших порядков. Сколько их? Как их найти? Мы уже видели, если мы находим частную производную, не фиксируя конкретное значение x и y, в каждой точке некоторой области существуют частные производные по x, и этом снова оказывается функций переменной x и y.

Точно также из f’ по y снова оказывается функция двух переменных x и y, поэтому их снова можно дифференцировать по каждой из переменных. Посмотрите, при вычислении частных производных первого порядка у нас их 2, на следующем шаге их будет в два раза больше, на следующем шаге, который мы здесь не осуществляем их будет снова в два раза больше и т. д. Итак, когда мы повышаем порядок частной производной, то количество производных увеличивается в два раза, удваивается.

На этой картинке (смотрите на видео) давайте разбираться, как осуществляется запись. Посмотрите, если мы используем штрихи, например, в первой записи вверху (смотрите на видео), это частная производная (z’_x)’_x, скобки убрали - получилось z’’_xx. Если мы используем круглые буквы d, то они записываются слева: (смотрите на видео). Убирая скобки, мы получаем как будто бы две буквы d (смотрите на видео), мы читаем: d2 x по dx дважды. Следующее: z’’_xy, как получается, дифференцированием (z’_x)’_y, если мы перейдем круглый буквам d, то окажется то, что порядок переменных здесь дифференцирование надо читать справа налево, так что отличие в записи со штрихами и с круглыми буквами d.

Еще какие термины? Если первое и второе дифференцирование осуществляется по одной и той же переменной, то частная производная называется чистой. Так здесь две чистые частные производные второго порядка (смотреть на видео), а если второе дифференцирование осуществлялось по другой переменной, то такая частная производная называется смешанной. Итак, среди частных производных второго порядка две чистые и две смешанные (смотреть на видео).

Ну и вам упражнение: перечислить все чистые, все смешаны частные производные третьего порядка функции двух переменных.

Для обозначения частных производных также используются разные символы. Обратите на них внимание (смотреть на видео). Например, частная производная шестого порядка. Верхний индекс говорит о порядке производной, нижний индекс должен содержать ровно столько же переменных x и y, порядок и количество переменных должны совпадать. Дифференцирование осуществлялось три раза по y, потом по x, потом по y, потом по x. Для сокращения записей мы можем выполнить действие: написать y^3 и использовать, например, арабскую цифру 6, но тогда в круглых скобках, чтобы не путать со степенью если же мы используем круглую букву d, помним, что порядок дифференцирования записывается справа налево: dy^3, потом dx, dy, dx. Частные производные высших порядков.

Продолжим вычисления и рассмотрим пример: найти все производные второго порядка функции z=e^(x*y). Начинаем с чего? Находим вначале, конечно, частную производную первого порядка, дифференцируя по x, мы считаем y константой. Очевидно, получаем ответ (смотреть на видео). Дифференцируя по y, считаем x константой. Получаем ответ (смотреть на видео). Ну и дальше не составит труда найти частную производную второго порядка, их четыре, как мы говорили - две чистые и две смешанные.

На что мы обратим внимание? Чистые, конечно, оказались разными, а вот смешанные, посмотрите, они совпали. Случайно это или нет? Оказывается, нет. Справедлива теорема о равенстве смешанных производных. Так вот, если функция двух переменных имеет частную производную второго порядка, функция непрерывна в точке (x_{0, y0}), то значения этих смешанных производных равны. Из этой теоремы следует, что если смешанная производная, неважно какого порядка, непрерывной в точке, то значение не зависит от того, в каком порядке по указанным переменным вы осуществляли дифференцирование.

Ну и такое упражнение: как вы поняли эту теорему? Назовите все равные между собой частные производные третьего порядка функции двух переменных, конечно, если выполнено условие теоремы – непрерывность.