Математика. Материалы курса

Тема нашего занятия «Вычисление определенного интеграла». Давайте вспомним, какие для этого существуют методы. Вообще-то те же самые, что и для неопределенного интеграла, но некоторые нюансы, конечно, есть.

Самый простой путь – это, непосредственно, проинтегрировать. На этом этапе мы используем, самое главное, это формулу Ньютона-Лейбница. Чаще всего, правую часть мы записываем как разность F(b)-F(a).

Но для вычисления интеграла, для оформления записи нам как раз будет очень удобно использовать вертикальное число. Мы говорим, мы будем выполнять вот такое вычисление: F(x), вертикальная черта, a и b – индексы, нижний и верхний (см. видео).

Чтобы нам вычислять продуктивно, рационально, очень важно знать свойства такого вычисления. Вообще, оно удовлетворяет свойству линейности. Если такая черта относится к сумме функции, то мы можем разбить эту сумму на слагаемые и выполнить вычисления для каждого слагаемого.

И второе свойство – свойство однородности. Мы можем постоянный множитель вынести за знак этого вычисления. Это непосредственное интегрирование и формула Ньютона-Лейбница. Еще важные способы такие же, как для неопределенного интеграла: метод подстановки или замены переменных и метод интегрирования по частям. Формула практически та же самая, только у интегралов появляются пределы интегрирования и произведение функции UV тоже с вертикальной чертой от a до b.

Давайте разберем на примерах все эти приемы.

Первый пример – он очень простой, конечно (см. видео). Так, вот посмотрите, как правильно, вернее, рационально выполнить вычисление этого интеграла. Вычисляя интеграл от первого слагаемого, мы получаем: одна третья х^3, дальше минус одна вторая х^2 и плюс 4х. По формуле Ньютона-Лейбница мы должны бы были написать: мы выполняем вычисление от -1 до 2. То есть, вообще говоря, можно вычислить значение этой функции в точке 2, потом написать минус и дальше вычислить значение функции в точке -1. Но вы столкнетесь с тем, что на каждом этапе вам придется складывать и вычитать дроби. Рациональнее воспользоваться свойствами вычисления. Итак, одна третья умножается на х^3 от -1 до 2, дальше минус одна вторая умножается на х^2 от -1 до 2, и потом 4 умножается на х от -1 до 2. Так, давайте посмотрим. Итак, одну третью на что умножаем? Подставляем верхнее значение, получаем 2^3 это 8. И вычитаем сколько значений в точке -1? Минус минус 1, значит, будет 8+1. Дальше, минус одна вторая, в верхней точке получаем 4, в нижней точке получаем 1, т.к. (-1)^2, плюс 4, умноженное на разность значений 2 и –(-1), 2+1, т.е. на 3. Смотрите, что получается. Здесь дроби вообще исчезли, это 3. Здесь 3, деленное на 2, это 1,5. И здесь +12. Итак, получаем 13,5 (см. видео).

Так, давайте следующий пример разберем. Сразу анализируем ситуацию. Под знаком интеграла находится произведение двух функций, которые не связаны друг с другом дифференцированием, то есть вносить под знак дифференциала мы ничего не можем. И что нам остается, видимо, в этом случае, применить формулу интегрирования по частям. Давайте вспомним: UdV это UV минус интеграл VdU. Это если бы был неопределенный интеграл, мы бы на этом и остановились. Но у нас интеграл определенный, значит, появляются пределы интегрирования, числа а и b. Так, наша задача – выяснить, где здесь U, где здесь dV. В качестве U надо брать такую функцию, у которой хорошая производная. Очевидно, мы берем U это lnx. В качестве dV остается что у нас? К dV всегда относится множитель dx, значит, у нас осталось xdx.

Чтобы применить формулу, нам понадобится найти dU. Итак, что такое дифференциал? Это производная, умноженная на dx, это dx, деленное на х. Здесь (см. видео), чтобы найти V, V восстанавливается интегрированием, это одна вторая x^2. Обратите внимание, это не интеграл, вообще говоря, это одна из первообразных, не семейство, а одна из первообразных. Так, ну давайте посмотрим, что же мы имеем. Так, продолжаем вычисление интеграла. Мы должны перемножить функции U и V, lnx и одну вторую х^2. Давайте эти множители запишем так, чтобы было удобнее читать (см. видео). Интеграл у нас определенный, поэтому расставляем пределы интегрирования от 1 до 2. Дальше мы пишем минус, знак интеграла и VdU, одна вторая х^2, dU – это dx, деленное на х, от 1 до 2. Здесь логичнее всего сразу выполнить вычисление. Итак, одна вторая на что мы должна умножить? Вычисление в точке 2 – это будет 4ln2-0. Здесь мы напишем: одну вторую выносим за знак интеграла, на х сокращаем, остается хdх от 1 до 2. Продолжаем, выполняем действие, получаем 2ln2. Здесь табличный интеграл, равный х^2, деленное на 2, значит будет уже минус одна четвертая х^2 от 1 до 2. Ну и дальше вычисляем х^2 от 1 до 2. Здесь мы переписываем 2ln2 минус одна четвертая, давайте посчитаем, что из себя представляет это выражение. Это в верхней точке 4 вычитаем 1, равно 3. На тройку придется умножать, значит минус три четвертых. Всё, вычисление завершено. Итак, это мы применили метод интегрирования по частям.

Так, снова видим определенный интеграл. Что же находится под интегралом? Что за функция? Что за тип интегралов? Давайте посмотрим, в знаменателе квадратный трехчлен с отрицательным дискриминантом, в числителе линейный множитель. Вообще говоря, это простейшая дробь третьего типа, поэтому для вычисления мы будем применять те же самые методы, как мы поступали. Итак, выписываем знаменатель, выделяем полный квадрат, это получается (х+1)^2+4. Проверьте, всё правильно. Так вот в качестве новой переменной мы берем х+1. Значит, выражение (х+1)^2+4 становится равным t^2+4. Знаменатель у нас уже заменился, да? Что нам понадобится еще выяснить? Это еще не всё, нам надо еще 2х-1, нам надо dх. Что делать с пределами интегрирования? Давайте всё по порядочку. Итак, х мы получаем это t-1. Значит, dx и dt равны, они отличаются на константу. Так, dx, уже понятно, мы заменим на dt. Дальше еще что мы сделаем? Давайте посмотрим, числитель по что у нас превратится? Итак, 2, умноженное на t-1, и еще -1. Это 2t-3, если мы раскрое скобки. Смотрите, всё, что относится к подынтегральному выражению, мы уже знаем, на что заменить. Пределы интегрирования. Вот важный момент, о котором вы иногда забываете, что кроме изменения переменной, дифференциала переменной, нужно заменить обязательно пределы интегрирования. Эти изменения относятся к переменной х. х было равно 1, но у нас новая переменная в этом месте появится. t это х+1, t будет равно 2. Вверху х было равно 2, t на единицу больше, будет равно 3. Всё, по-моему, мы можем переходить к замене. Итак, пределы интегрирования у нас изменились от 2 до 3, в числителе давайте посмотрим, это 2t-3, в знаменателе t^2+4, dt. Дальше, всегда мы так делаем при вычислении интегралов от простейших дробей этого типа, делим почленно числитель на знаменатель. Итак, первое слагаемое получилось 2tdt на t^2+4 от 2 до 3, и второе слагаемое 3dt на t^2+4. Здесь опять прием внесения функции под знак дифференциала. Мы должны, что есть функция и ее производная. Смотрите, t^2+4, а 2t это и есть производная. Посмотрите внимательно. Найдем производную знаменателя, это и будет 2t. Так что в числителе находится дифференциал знаменателя. Это дифференциал d(t^2+4), в знаменателе повторяем запись t^2+4 от 2 до 3. Здесь логично тройку вынести, интеграл dt, деленное на t^2+4. Так, t изменяется от 2 до 3. Оба полученных интеграла являются табличными. Итак, первый интеграл – это ln(t^2+4), модуль можно не ставить, т.к. выражение всегда > 0, от 2 до 3, минус три вторых арктангенс t, деленное на 2, где t изменяется от 2 до 3.

Мы пришли еще к одному отличию от неопределенного интеграла. Первое, я напоминаю, мы должны не забыть изменить пределы интегрирования. Это первое отличие от неопределенного интеграла. Второе, сейчас в неопределенном интеграле мы бы стали возвращаться к переменной х, а вот в определенном интеграле этого делать не надо. И в этом случае решение даже сокращается. Итак, мы вычисляем и сразу придем к ответу. Вычисляем в точке 3: 9+4, ln13-ln8-3/2(arctg3/2-arctg1). Можем выполнить последние вычисления. Разность логарифмов, немножко запись сократим, будет ln13/8-3/2arctg3/2+3П/8. Мы получили такой ответ.

Так, давайте перейдем к последней из сегодняшний задач. Опять здесь нет функции, пока ее дифференциал. Но мы видим подынтегральная функция содержит е^х. Что мы сделаем? Умножим числитель и знаменатель на е^х (см. видео). х изменяется от 0 до 3. И сейчас мы введем новую переменную t=e^x. Смотрите, тогда dt это как раз e^xdx. Это то, что у нас находится в числителе. В знаменателе всё тоже заменяется прекрасно. Не забываем важный момент, заменить пределы интегрирования. Если х было равно 0, считаем, t это e^0, это 1. В верхней точке х было равно 3, то t стало равным е^3. Все замены сделали, записываем новый интеграл от 1 до е^3, в числителе dt, в знаменателе t(t+1). Получили интеграл от дробно-рациональной функции. Если мы знаем, как разложить сумму простейших дробей, можно поступить таким образом. А я предлагаю выполнить тождественные преобразования. Итак, у нас была единица, мы прибавим t и вычтем t, dt мы напишем после черты, итак, t(t+1). Поделим почленно. Что мы видим? 1+t делим на знаменатель, будет 1/t – первая дробь, и t делим на знаменатель, будет 1/(t+1), dt, а здесь е^3. Мы уже достаточно много вычисляли интегралов подобного типа, поэтому я, не вдаваясь в подробности, сразу пишу, здесь будет ln|t|-ln|t+1|. И не забываем писать пределы интегрирования, от 1 до e^3. Вычисляем. Опять особенность – не возвращаемся к первоначальной переменной. Итак, ln(e^3) это 3, сразу напишем, ln1 это 0. Вот у нас что получилось. Здесь минус, давайте вычислять, ln(e^3+1)-ln2. Так, ну и давайте дальше запишем, 3-ln(e^3+1)+ln2. В общем-то, это и есть уже ответ, к которому мы пришли.