Математика. Материалы курса

 

Для чего нам понадобилось дифференциальное исчисление? Конечно, для того чтобы исследовать функции, знать, как они себя ведут, знать, как можно более детально. Как раз для этого нам и необходимы производные.

Первое, с чего мы начнем. Исследование функции на монотонность: возрастание, убывание, постоянство. Такие термины связаны со словом монотонность. Первая из этих теорем – необходимое и достаточное условия постоянства функции на интервале. Функция постоянна на интервале тогда и только тогда, когда производная функции в любой точке этого интервала равна нулю.

В одну сторону, в общем-то, нам это очевидно. Если функция постоянна, то ее производная равна нулю. Это мы прекрасно знаем. Важнее провести доказательство в другую сторону.

Итак, пусть производная функции f тождественно равна нулю на интервале (a, b) в любой точке. Что нам нужно сделать? Нам надо доказать, что функция постоянна, что в любых двух точках интервала (a, b) значения функции совпадают.

Итак, возьмем произвольные две точки x₁ и x₂ из интервала (a, b). Будем считать, что одна из них левее другой, пусть x₁ < x₂. На отрезке [x₁, x₂] мы можем применить к функции f теорему Лагранжа. Посмотрите, почему это так? Тогда существует точка x₀, для которой выполнена эта формула конечных приращений Лагранжа. Проанализируем ситуацию. Производная везде равна 0 на интервале (a, b), значит, и в точке x₀. Итак, правая часть равенства равна нулю, значит и левая равна нулю. То есть в точках x₁ и x₂ значения функции совпадают. Функция постоянна. Теорема доказана.

Как можно применить эту теорему, например, для доказательства тождеств, которыми мы иногда пользуемся при решении задач элементарной математики и не только?

Давайте попробуем доказать первое, а второе вы докажете самостоятельно.

Итак, рассмотрим функцию f(x)=arcsin x + arccos x. Она определена на отрезке [-1, 1] и непрерывна. Если вы посмотрите таблицу производных (а лучше вспомните факты), вы легко проверите и убедитесь, что производная этой функции равна нулю, потому что производная функций-слагаемых отличается только знаками. По только что доказанной теореме мы заключаем, что эта функция постоянна на промежутке [-1, 1], но, поскольку она еще непрерывна на всем отрезке, можно сделать вывод, что она постоянна на всем отрезке [-1, 1]. Осталось узнать это значение c. Берем любую точку из отрезка [-1, 1], например, 0 и получаем 1 – значение в точке 0 π/2, а функция константа значит, все ее значения равны π/2. Итак, тождество доказано. Второе тождество вы докажете самостоятельно.

Сейчас посмотрим, как исследовать функцию на монотонность, на возрастание и убывание. Эта теорема хорошо известна. Если производная функции f имеет знак плюс на интервале (a, b), функция f строго возрастает на интервале (a, b). Если производная имеет знак минус, то функция строго убывает. Проведем доказательство для первого пункта. Итак, пусть f’>0 на интервале (a, b). Докажем, что функция возрастает на этом интервале. Помним определение. Что значит «строго возрастает»? Это значит, каковы бы ни были точки x₁, x₂, если x₁ < x₂ , то и значение функции в этих точках связаны тоже неравенством «меньше». Итак, возьмем произвольные точки x₁ и x₂, x₁ < x₂.

Докажем неравенство, связывающие f(x₁) и f(x₂). Применим теорему Лагранжа на [x1, x2]. Существует точка x₀ из этого интервала (x₁, x₂), в которой выполнено равенство (см. видео). Так, оценим правую часть. Посмотрите, оба сомножителя в правой части имеет знак +, значит и левая часть имеет знак +, то есть f(x₁) < f(x₂), то есть функция строго возрастает. Что и требовалось доказать. Пункт 2 вы докажете аналогично самостоятельно.

Может быть так, что в некоторых точках значение производной равно нулю, а в остальных точках интервала ее значение меньше 0 или больше нуля. Мы можем сделать вывод, что в этих случаях функция все-таки является строго монотонной. Посмотрите функция, f (x)=x³, значение производной равно 3x²_, оно больше нуля во всех точках, кроме 0, то есть мы бы сделали вывод, что функция строго возрастает на интервале от минус бесконечности до 0 и на

втором интервале от 0 до плюс бесконечности, и в точке 0 производная равна нулю. Мы можем сделать вывод на основании этого замечания, что функция строго возрастает. Попробуйте обосновать этот факт.

Итак, давайте рассмотрим, какие ошибки, бывает, вы допускаете. Пример простой, но очень иллюстрирующей понятие монотонности, исследования на возрастание, убывание. Итак, находим производную. Давайте обратим внимание, что функция определена везде, кроме точки 0. Поэтому мы видим, что производная меньше нуля на интервалах от минус бесконечности до 0 и от 0 до плюс бесконечности. Строгое убывания на двух интервалах. Ошибка, которую вы должны избежать. Часто бывает, но нельзя ставить знак объединения между этими интервалами. Ответ записывается так, посмотрите, не знак объединения между этими интервалами, а союз «и» или запятая, так как мы перечисляем промежутки монотонности, промежутки убывания в этом случае. Функция не является убывающей на объединении множеств. Попробуйте аргументировать, почему это не так.

Еще один пример и небольшое замечание. Пример. Функция f(x)= x². Понятно, что она строго убывает на интервале от минус бесконечности до 0, строго возрастает на интервале от 0 до плюс бесконечности. Но в точке 0 функция непрерывна, поэтому мы можем добавить точку 0 в промежуток убывания и

возрастания и записать такой вывод. Так что правильно будет написать и интервал, и будет правильно написать возрастание и убывание на лучах, включающих точку 0.

Перейдем к следующему понятию – понятию экстремума и исследованию функции на экстремум. Итак, пусть функция f определена на некотором интервале, который содержит точку x₀ (это важно, это не конец отрезка, не конец интервала). Точка x₀ называется точкой максимума, если в точке x₀ значение больше или равно значения функции в точке x из окрестности точки x_0, некоторой окрестности. Для минимума мы берем другое неравенство.

Если выполняется строгое неравенство для всех x не равных x₀, то мы говорим о точках строгого максимума и минимума. Ну и точки максимума и минимума, помним, мы называем точками экстремума.

Необходимое условие экстремума. Если мы знаем, что точка x₀ - это точка экстремума функции f, и f дифференцируема в этой точке, то на основании этой теоремы мы делаем вывод, что производная в точке x₀ равна нулю. Доказательство – несложное. Вспомним теорему Ферма, одну из основных теорем дифференциального исчисления. Итак, если x₀ – точка экстремума, то функция определена на некотором интервале, содержащем точку x₀ и принимает в этой точке наибольшее и наименьшее значения. Вообще понятие

экстремума – это локальное понятие, оно характеризует поведение функции в некоторой окрестности. Как раз это и означает наибольшее или наименьшее значение. Применяем теорему Ферма и делаем вывод: производная равна нулю. Теорема доказана.

По этой теореме мы делаем вывод: если производная – это число не равное нулю, то x₀ не может быть точкой экстремума. И такая логическая ситуация. Вспоминая, что производная функции f в точке – это предел, мы вычисляли предел по определению, то какие бывают ситуации? Это может быть число 0 или число, не равное 0, или бесконечность, или не существует. Первый из этих случаев. Предел равен числу, не равному 0. На основании только что доказанной теоремы мы можем сделать вывод, х₀ точно не является точкой экстремума.

А что же сказать про другие случаи? Если производная равна нулю или бесконечности, или не существует? Есть там экстремум или нет? Давайте попробуем разобраться. Итак, рассмотрим три случая: производная равна нулю, равна бесконечности или не существует. Смотрите, эти три иллюстрации показывают нам, что x₀ может оказаться точкой экстремума. Итак, производная равна нулю, это горизонтальная касательная, равна бесконечности, это вертикальная касательная, и когда производной не существует, касательной нет. В каждом из этих случаев х₀ может быть точкой экстремума.

Давайте посмотрим еще иллюстрации. Когда при этих же трех условиях экстремума может и не быть? Горизонтальные касательные, вертикальные касательные, касательных нет. В каждом из этих случаев экстремума функции нет. Итак, в ситуации, когда производная равна нулю, равна бесконечности или не существует, мы говорим, что эта точка x₀ оказывается точкой возможного экстремума. Термин для этого есть. Такая точка называется критической. Ситуации, когда производная равна нулю, мы выделяем отдельно в виде критических точек. Эти точки еще мы часто называем стационарными. Так что это частный случай критической точки.

Перейдем к исследованию. Итак, если у нас есть критическая точка функции f, и она непрерывна и дифференцируема в этой точке. Как же определить, есть там экстремум или нет там экстремума? Так вот, если производная f‘ меняет свой знак при переходе через эту точку x₀ на противоположный, то x₀ оказывается точкой экстремума. Если меняет свой знак с плюса на минус, то это точка максимума, если с минуса на плюс, то точка минимума. Мы не будем доказывать. Мне кажется, исходя из предыдущих теорем (необходимого и достаточного условия монотонности) вы в состоянии сами обосновать заключение этой теоремы.

А мы переходим к следующим понятиям: выпуклость кривой и точки перегиба. И для этого нам понадобится знание производных второго порядка. Итак, пусть функция дифференцируема в точке x₀, то есть графиком служит гладкая кривая в точке x₀. Гладкость не нарушена, график имеет касательную. Мы говорим, что график функции (эта кривая) является выпуклой вверх, если вблизи точки касания касательная лежит выше графика функции и выпуклой вниз, если график лежит вблизи точки касания выше касательный. А точка перегиба характеризуется тем, что, если мы построим касательную, то она разобьет график на две части: правее точки х₀ – касательные по одну сторону от кривой, а левее точки х₀ – по другую сторону от кривой. Такая точка x₀ называется точкой перегиба. Таким образом, точка перегиба отделяет промежутки с разными направлениями выпуклости.

Как исследовать функцию на выпуклость? Смотрите внимательно. Эта теорема очень напоминает теорему о достаточном условии монотонности. Там только мы говорили, если производная имеет знак плюс, функция возрастает, знак минус – убывает, а здесь: если вторая производная имеет знак +, то функция выпукла вниз на интервале, если знак производной второго порядка – минус, то функция выпукла вверх на интервале (a, b). Выводы немножко другие, но структура формулировки теоремы абсолютно та же. Как запомнить? Тут есть два приема: плюс – чаша наполняется или смайлик у нас улыбается, если знак минус, знак второй производной, чаша опрокинулась, все плохо, ну и смайлик у нас совсем не улыбается, а наоборот.

Необходимое условие перегиба формулируется аналогично необходимому условию экстремума. Только немного термины изменились. Итак, что нам известно? x₀ – точка перегиба, и функция f дважды дифференцируема в точке х₀, то есть существуют вторая производная в точке х₀. Теорема позволяет сделать вывод, что значение этой второй производной в точке х₀ равно нулю. В этом случае (и опять так же, как мы говорили про первую производную) логические рассуждения нам позволяют сделать вывод: если значение производной второго порядка не равно нулю, там перегиба нет. А вот если равно 0 или бесконечности, или не существует, то в каждом из этих случаев точка x₀ может оказаться точкой перегиба, а может ею и не быть. Поэтому точку x₀, в которой вторая производная равна нулю, равна бесконечности или не существует, мы называем критической точкой функции второго рода. Иногда такие точки также можно называть и точками возможного перегиба, точками, подозрительными на перегиб.

Как же узнать, какие из них являются точками перегиба, а какие нет? Мы для этого применяем теорему достаточно условия перегиба. Итак, пусть x₀ – критическая точка второго рода функции f, непрерывной в этой точке. Также как мы исследовали на экстремум: если вторая производная меняет свой знак на противоположный при переходе через точку x₀, тогда х₀ – точка перегиба.

Давайте вернемся еще к исследованию на экстремум. Оказывается, мы можем применять для исследования на экстремум функции и знания о второй производной. Посмотрите, пусть x₀ – это стационарная точка, точка возможного экстремума. Производная равна нулю. Как выяснить, есть там экстремум или нет? Так вот, если окажется так, что вторая производная больше нуля, мы помним, как выглядит график – функция, выпуклая вниз в этой точке, то есть это ямка, это минимум, если вторая производная меньше нуля, то x₀ – это точка максимума. Посмотрите, для функции f(x)=x² понятно,

что производная равна нулю в точке 0 (стационарная точка). Почему это точка минимума? Можно не строить числовую прямую, не определять знаки производной, а просто посмотреть значение второй производной. Это число 2, оно больше 0, итак, 0 – это точка минимума. Но посмотрите, может оказаться так, что вторая производная тоже равна нулю. Тогда эту теорему применить нельзя.

Есть теорема, которая позволяет исследовать на экстремум, используя значение производных более высоких порядков. Если окажется так, что все производные функции f до n-1 порядка в точке x₀ равны нулю, а n-ая производная – не 0, тогда, посмотрите, какие выводы мы делаем? Если это значение n нечетное натуральное число, то экстремума нет, если четное, то х₀ – экстремум, если значение производной n-го порядка в точке х₀ больше нуля – точка минимума, меньше 0 – точка максимума. Вот посмотрите, мы рассматривали функцию x², а если мы рассмотрим функцию f (x)=x⁴_, для неё стационарная точка, значение производной равно нулю только в точке 0. Так, будем находить значение производных в точке 0. Что мы видим? Все производные до третьего порядка в точке 0 равны нулю, а вот 4 это число 24 и так четыре четное число, значит, есть экстремум, значение производной больше нуля, значит ноль – это точка минимума.