Математика. Материалы курса

Вычисление пределов. Замечательные пределы.

День сегодня замечательный! А всё почему? Да потому что рассматривать мы будем замечательные пределы, к сожалению, их не так много. Всего лишь 2, но следствий хватает, поэтому вам будет чем заняться и что изучить.

Во-первых, давайте рассмотрим теорему о пределе композиции функции, она важна при вычислении пределов. Если функция F(x) = g(f(x )). f- внутренняя функция, g-внешняя. Lim f(x0) = u0, а lim_(x→0) g(u)=A, то lim_(x→0)F(x0)=A; Проще всего разобраться с этой теоремой на примере:

Sin(5x) / x в точке нуль, неопределённость - 0/0, всё было бы хорошо, если было бы sin(x)/x, это был бы в чистом виде Первый замечательный предел, который равен 1. Но 5 нам мешает. Давайте сделаем замену. Новую функцию введём, t=5x, выразим x=t/5. Мы получили новую функцию аргумента t → 0, и видим, 5*sin(t)/t – Первый замечательный предел, который равен единице. Получаем ответ: 5.

Чаще всего мы не будем вводить новую переменную, а будем выполнять преобразования, опирающиеся на эту теорему следующем образом. Давайте рассмотрим примеры.

Первый предел, подставляя вместо x = 0, помним, sin, arctg, Они все в точке нуль равны нулю, мы получаем неопределённость – 0/0, видим, тригонометрия, значит это первый замечательный предел и его следствие, здесь участвуют sin и arctg, формулы 1-го зам. Предела и следствия (lim(x->0) sin(X)/X = 1; lim (x->0) arctg(x) / x =1.)  Как их использовать? Ведь в примере мы видим и не sin и не arctg, а что-то иное. Посмотрите, как мы поступаем. Как мы поступим с числителем? Мы образуем единицу используя первый замечательный предел. Sin(2x)/2x, но так как это третья степень, мы умножили на третью степень 2х, дальше по порядку: с arctg точно также образовали единицу, разделив на 3X, поскольку это в квадрате, умножили на (3X)^2. И последнее действие – sin(5x) поступили точно также: разделили и умножили на 5х. Всё время следим за тождественностью преобразований, на что разделили – на то и умножаем. То что у нас обведено – это единицы. Мы их можем не замечать. Что получается: единицы не замечаем, всё остальное – выполняем действия: возводим в третью степень и в квадрат, перемножаем, осталось сократить на x^3 и пишем ответ. Результат получился.

Второй пример с Cos.

Тригонометрия – это первый замечательный предел и его следствия. Вспоминаем формулу, которая нам понадобится, посмотрите, чтобы получилась 1, нужно разделить на квадрат переменной, делённый пополам. Чтобы образовалась 1 – в знаменателе дроби написали ((3x)^2)/2 и в числителе дроби –  следим за тождественностью преобразований. Обвели единицу, а дальше выполнили умножение, сокращение и пишем ответ.

Ещё один пример:

Здесь участвуют tg и arcsin, для tg – делим на 5x, умножаем на 5x. С arcsin – образуем единицу под корнем. И умножим на корень из (4x)^2. Обвели единицы, выполняем преобразования и пишем ответ.

Самое главное – неопределённость 0/0, переменная стремится к 0 во всех примерах и тригонометрические функции, которые участвуют в первом замечательном пределе, выполняем преобразования соответствующее нужной формуле.

Давайте рассмотрим второй замечательный предел. Помним, что он имеет дело с новой неопределённостью, с которой мы ещё не работали, это 1^∞. Если мы подставим вместо х – нуль, 1-2*0 = 1. И в показателе степени 1/0 – бесконечность. Надо зафиксировать в голове, что единица в любой степени – это единица, но не в бесконечно большой степени. Это неопределённость, которую требуется раскрывать. При стремлении переменной к нулю мы будем использовать формулу ( lim_(x→0) (1+x)^(1/x) = e ). У нас есть две формы записи второго замечательного предела: при х → 0 и при х → ∞. Какие здесь важные моменты? На что нужно обратить внимание? В основании степени 1+, в нашем примере 1-. Поэтому первый шаг, который мы сделали – записали 1+, какая величина (-2х), показатель степени мы оставили в покое. Обращаем внимание на формулу. В показателе степени должно стоять выражение: 1 делить на слагаемое, которое прибавляется к единице. Что мы сделали? Разделили на (-2х), и чтобы преобразование должно было тождественным, умножили на (-2х). А сейчас мы можем обвести, то что по нашей формуле даёт число е. В основании получилось е, в показателе степени можно сократить х, и мы получаем (-2/3), ответ: e^(-2/3).

Второй пример:

Будем вычислять: 1-(1/ ∞)=1 это основание. Показатель: 3х+1 → ∞ это неопределённость 1^∞. Мы будем использовать формулу, когда х → ∞. Что обязательно должно быть? (1+) У нас (1-), поэтому первым действием – заменяем основание на (1+), дробь со знаком « - », показатель степени мы сохранили. Если мы прибавляем какую-то величину в формуле 1+ 1/х, что такое х? Это 1 делённое на второе слагаемое, значит в числителе должно быть (-2х). Чтобы преобразование было тождественным, раз мы умножили, то должны и разделить. Обвели е и получили: оставшееся выражение не сокращается. Поэтому появляется другая запись. Мы должны вычислить предел отношения многочленов, здесь можно не выполнять тождественных преобразований, так как предел отношения многочленов на ∞ равен отношению коэффициентов при наивысшей степени переменной, здесь 3 и (-2). Поэтому мы сразу пишем ответ: e^(-3/2).

Посмотрим, как работают следствия. Такая ситуация, мы всё время подгоняем, под нужную формулу. Во-первых, надо знать, что есть формулы, во-вторых, как правильно из использовать. Во-первых, вычисляем подставляем вместо х нуль, ln(1)=0, в знаменателе нуль. Неопределённость – (0/0). То, что связано с логарифмами, с показателями, со степенно- показательными функциями – это всё второй замечательный предел и его следствия. Вспоминаем нужную формулу ( lim_(x→0)(ln(1+x))/x =1 ). Только в формуле у нас под знаком ln – (1+). Изменяем эту ситуацию, посмотрите, как мы записали: Во-первых, 2 вынесли за знак предела и в числителе 1+(-х), и в знаменателе тождественные преобразования выполнены: знак « - » появился и под знаком предела, и перед пределом. И мы получаем: указанную формулу. Обведённая формула – даёт единицу. Ответ: (-1/2).

Давайте рассмотрим другой предел:

Начинаем подставлять вместо х нуль. Получаем: (5*0) / (e^0-1), и видим 0/0 – показательная функция с основанием е участвует и подходящая формула: lim_(x→0) (e)^x)-1)/x =1. Как ей воспользоваться? На самом деле, мы уже об этом говорили: если предел какой-то дроби равен единице, то числитель и знаменатель мы смело меняем местами, по-прежнему будет единица. Во-первых, 5 отправили за знак предела, а что нам не хватает чтобы обвести единицу? Если показатель у е это 2х, но и в другой части дроби должен стоять множитель 2х. Вот это мы и сделали: мы умножили на 2 числитель и знаменатель. Обводим единицы. В результате х исчезает, это единица. Ответ: 5/2.